Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小.

Answer 1

　 满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA₁、AC₁、CM，则CA₁=

∵CB=CA₁=，∴△CBA₁为等腰三角形，

又知D为其底边A₁B的中点，

∴CD⊥A₁B. ∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=

　 又BB₁=1，A₁B=2. ∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，

　 ∴CD=A₁B=1，CD=CC₁，又DM=AC₁=，DM=C₁M.

　 ∴△CDM≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM.

　 因为A₁B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B₁G、FG、B₁F，则FG//CD，FG=CD.

　　 ∴FG=，FG⊥BD.

　 由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D知BD=B₁D=A₁B=1，

　 所以△BB₁D是边长为1的正三角形.

　 于是B₁G⊥BD，B₁G=　 ∴∠B₁GF是所求二面角的平面角，

　 又 B₁F²=B₁B²+BF²=1+（=，

∴

即所求二面角的大小为

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅰ）B（，0，0），B₁（，1，0），A₁（0，1，1），

D（，M（，1，0），

则　 ∴CD⊥A₁B，CD⊥DM.

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B₁G，则

G（），、、），

所以所求的二面角等于