Question

已知：函数.（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…〉.

(1) 当时，求函数的图象在点处的切线方程；

(2) 当时，试求函数的极值；

(3)若，则当时，函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内，请写出判断过程.

 

 

Answer 1

【答案】

解析：

（1）

所以，当时函数的图象在点处的切线的斜率为1

故所求切线方程为……………………..2分

（2）当时恒成立，函数定义域为R

又单调递增，单调递减，单调递增

所以函数的极大值为，极大值为…………………..5分

（3）①当时

法一：因为函数在单调递增，所以其最小值为，而函数在的最大值为1，所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分

法二：因为

而当时，

又，，即当时成立

所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分

②当时，

法一：仿上可得函数在上时，上述结论仍然成立……………..7分

法二：因为，由（2）知

而当时

又，，即当时成立……………..7分

而当时，因为函数递减，其最小值为

所以，下面判断的关系，即判断的关系，

令

单调递增

使得

上单调递减，在单调递增……………………………..10分

所以

即也即

所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..12分

 

【解析】略