Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积是

3

3

．

Answer 1

分析：利用椭圆定义求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通过余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面积公式即可．

解答：解：由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1方程可知，
a=5，b=3，∴c=4
∵P点在椭圆上，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1| +|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

102-2|PF1||PF2|-82

2|PF1||PF2|

=

36 -2|PF1||PF2|

2|PF1||PF2|

=cos60°
=

1

2

，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=12，
又∵在△F₁PF₂中，
S△PF1F2=

1

2

|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂
∴S△PF1F2=

1

2

×12sin60°=3

3

；
故答案为：3

3

．

点评：本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化，考查计算能力．