Question

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

Answer 1

解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60 (km)．

若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60．

由余弦定理知

由于   PO＝300，PQ＝20t，

cos∠OPQ＝cos(θ－45°) 

         ＝cosθcos45°＋sinθsin45°

        

        

故 

因此   20²t²－9600t＋300²≤(10t＋60)²，

即       t²－36t＋288≤0，

解得       12≤t≤24．

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向，

在时刻t(h)台风中心的坐标为

  

此时台风侵袭的区城是

          

其中r(t)＝10t+60．

若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

           

即        ≤(10t＋60)²，

即      r²－36t＋288≤0，

解得         12≤t≤24．

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．