Question

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b; 固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

Answer 1

解：

(1)依题意汽车从甲匀速行驶到乙所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv²·＝s（＋bv），

所求函数及其定义域为y=s（＋bv），v∈（0，c］．

 

（2）由题意，s、a、b、v均为正数，故s（＋bv）≥2s．?

等式当且仅当＝bv，即v＝时成立.?

若≤c，则当v=时，全程运输成本y最小；?

若＞c，当v∈（0，c］时，

有s（＋bv）＋s（＋bc）＝s［a（－）＋b（v－c）］＝（c－v）（a－bcv）．?

 

因为c-v≥0，且a＞bc²，故a-bcv＞a-bc²＞0，

所以s（＋bv）≥s（＋bc），当且仅当v=c时等号成立，即当v=c时，全程运输成本y最小.?

综上，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度为v=；?

当＞c时，行驶速度为v=c.

评述：此题考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.考查数学建模能力、求最值的方法.