Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=PB=1，BC=2。

（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求二面角A-PD-B的余弦值。

Answer 1

解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线y为轴， AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 ∴ ，， ，，，。 （1）∵ ∴即 又平面PAB，平面PAB ∴∥平面PAB。 （2） ∴ 即 又 ∴平面PAD ∵平面PDC ∴平面PAD⊥平面PDC。 （3）设平面PBD的一个法向量 则，即 解得平面APC的一个法向量 而平面APD的一个法向量是 设二面角为θ 则 即二面角的余弦值为。