Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N*，数列
{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和，
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λT_n＜n+8·（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在中，
令n=1，n=2，
得，
解得，
∴，
，
∴。
（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立，
，等号在n=2时取得，
∴此时λ需满足λ＜25；
②当n为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立，
是随n的增大而增大，
∴n=1时，取得最小值-6，
∴此时λ需满足λ＜-21；
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21。
（3），
若成等比数列，
则，
由，
即，
∴，
又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12，
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T_n}中的成等比数列。