Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n•a_n-1=2a_n-1-1
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{

1

an-1

}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）易知a_n-1≠0，可得an=2-

1

an-1

，从而可得数列{

1

an-1

}是等差数列，即可求出{a_n}的通项公式．

解答：（1）解：∵a_n•a_n-1=2a_n-1-1，a₁=3
∴a₂a₁=2a₁-1，∴a2=

5

3

同理a3=

7

5

，a4=

9

7

___________________________（3分）
（2）证明：易知a_n-1≠0，所以an=2-

1

an-1

_____________________（4分）
当n≥2时，

1

an-1

-

1

an-1-1

=

1

(2- 1 an-1 )-1

-

1

an-1-1

=

1

1- 1 an-1

-

1

an-1-1

=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1
所以数列{

1

an-1

}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列_________（8分）
（3）解：由（2）知

1

an-1

=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

__________________（10分）
所以an=

2

2n-1

+1=

2n+1

2n-1

__________________________（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．