Question

在棱长为2cm的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中点是P，问过点A₁作与截面PBC₁平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．

Answer 1

设过点A₁与截面PBC₁平行的截面为α，则α与平面PBC₁被平面A₁B₁C₁D₁和ABB₁A₁所截，则交

线平行，故在平面A₁B₁C₁D₁内，过A₁作A₁E∥PC₁交C₁D₁于E，则E为C₁D₁中点，在平面ABB₁A₁内，过A₁作A₁F∥PB交AB于F，则F为AB的中点．

又截面α与上、下底面的交线平行，

∴连结CF为下底面的交线．

同理连结CE为α与平面CDD₁C₁的交线．

由A₁E綊CF知截面为平行四边形，又A₁E＝A₁F，

∴截面平行四边形为菱形，故其两对角线A₁C与EF相互垂直，面积S＝A₁C·EF＝a²，a＝2，

∴S＝4cm².