Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求A₁B与B₁D₁间的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：将线线距离转化为面面距离来求． 　　∵　A1B∥CD1，A1D∥B1C 　　∴　A1B∥平面D1B1C，A1D∥平面D1B1C 　　又A1BA1D=A1 　　∴　平面A1DB∥平面D1B1C 　　故平面A1DB与平面D1B1C间的距离即为A1B与B1D1间的距离 　　连结AC1，由三垂线定理知AC1⊥平面A1BD、AC1⊥平面D1B1C，垂足分别为O、O1．根据射影定理知O1、O分别为正△D1B1C和正△A1DB的中心，且B1C=CD1=B1D1= 　　∴　O1C1=OA= 　　又AC1=，∴　OO1= 　　∴　平面A1BD和平面D1B1C间的距离为，即A1B与B1D1间的距离为． 　　解法二：将线线距离转化为线面距离来求． 　　如图9-46所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 　　∵　D1B1∥DB，DB平面A1DB 　　∴　D1B1∥平面A1DB 　　∴　D1B1与A1B的距离即为直线D1B1到平面A1DB的距离 　　∵　正方体的对角面互相垂直 　　∴　过O1作O1H⊥平面A1DB，则H在A1O上 　　在Rt△A1O1O中，∠OO1A1=90°，O1H⊥A1O 　　∴　O1H·A1O=O1A1·O1O 　　∵　正方体的棱长为1 　　∴　O1O=1，O1A1=，OA1= 　　∴　O1H= 　　即D1B1与A1B间的距离为．