Question

已知函数f(x)=，存在正数b，使得f(x)的定义域和值域相同.

（1）求非零实数a的值；

（2）若函数g(x)=f(x)有零点，求b的最小值.

Answer 1

解：(1)若a＞0，对于正数b，f(x)的定义域为D=(-∞,］∪［0,+∞)，但f(x)的值域A［0,+∞)，故D≠A，不合要求.

若a＜0，对于正数b，f(x)的定义域为D=［0,］.

由于此时［f(x)］_max=f()=，故函数的值域A=［0,］

由题意，有，由于b＞0，所以a=-4.

(2)由f(x)=0,即=(0＜x≤),

得4x⁴-bx³+b²=0.记h(x)=4x⁴-bx³+b²,则h′(x)=16x³-3bx².

令h′(x)=0,x=∈(0,］,

易知h(x)在(0,］上递减；在［,］上递增.

∴x=是h(x)的一个极小值点.

又h()=b²＞0,h(0)→b²＞0,∴由题意有h()≤0,

即4()⁴-b()³+b²≤0.∴b²≥.

故b_min=.