Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1,n=1,2,3,….

(1)求a₁,a₂;

(2)求{a_n}的通项公式.

Answer 1

解:(1)当n=1时,x²-a₁x-a₁=0

有一根为S₁-1=a₁-1,

于是(a₁-1)²-a₁(a₁-1)-a₁=0,

解得a₁=.

当n=2时,x²-a₂x-a₂=0

有一根为S₂-1=a₂-,于是(a₂-)²-a₂(a₂-)-a₂=0,

解得a₂=.

(2)由题设(S_n-1)²-a_n(S_n-1)-?a_n=0,

即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0.

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1,代入上式得

S_n-1S_n-2S_n+1=0.          ①

由(1)知S₁=a₁=,

S₂=a₁+a₂=+=.

由①可得S₃=.

由此猜想S_n=,n=1,2,3,….

下面用数学归纳法证明这个结论.

(ⅰ)n=1时已知结论成立.

(ⅱ)假设n=k时结论成立,即S_k=,

当n=k+1时,由①得S_k+1=,

即S_k+1=,

故n=k+1时结论也成立.

综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知S_n=对所有正整数n都成立.

于是当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=-=,

又n=1时,a₁==,

所以{a_n}的通项公式为a_n=,n=1,2,3,….