Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE＝3，圆O的直径为9．

(1)求证：平面ABCD⊥平面ADE；

(2)求二面角D－BC－E的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， 　　∴． 　　在正方形中，， 　　∵，∴平面． 　　∵平面， 　　∴平面平面． 　　(2)解法1：∵平面，平面， 　　∴． 　　∴为圆的直径，即． 　　设正方形的边长为， 　　在△中，， 　　在△中，， 　　由，解得，． 　　∴． 　　过点作于点，作交于点，连结， 　　由于平面，平面， 　　∴． 　　∵， 　　∴平面． 　　∵平面， 　　∴． 　　∵，， 　　∴平面． 　　∵平面， 　　∴． 　　∴是二面角的平面角． 　　在△中，，，， 　　∵， 　　∴． 　　在△中，， 　　∴． 　　故二面角的平面角的正切值为． 　　解法2：∵平面，平面， 　　∴． 　　∴为圆的直径，即． 　　设正方形的边长为， 　　在△中，， 　　在△中，， 　　由，解得，． 　　∴． 　　以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 　　． 　　设平面的法向量为， 　　则即 　　取，则是平面的一个法向量． 　　设平面的法向量为， 　　则即 　　取，则是平面的一个法向量． 　　∵， 　　∴． 　　∴． 　　故二面角的平面角的正切值为．

提示：

本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力