Question

已知函数f(x)=x²+lnx.

(Ⅰ)求函数f(x)在区间［1,e］上的最大值和最小值；

(Ⅱ)求证：在区间(1，+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=x³的图象的下方；

(Ⅲ)设h(x)=f′(x)，证明：［h(x)］ⁿ-h(xⁿ)≥2ⁿ-2.

Answer 1

解析：(Ⅰ)f′(x)=x+，当x∈［1,e］时，f′(x)＞0,

∴f(x)在［1,e］上为连续的单调递增函数.

∴f_min(x)=f(1)=,f_max(x)=f(e)=e²+1.

(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=x²+lnx-x²,

    又F′(x)=x+-2x²===

    当x∈(1,+∞)时，1-x＜0,x＞0,2x²+x+1＞0成立，

∴F′(x)＜0，即在［1,+∞］上连续的函数F(x)单调递减，

∴x∈(1,+∞)时，F(x)＜F(1)=-=-＜0,

    即F(x)＜0,∴f(x)＜g(x),

∴结论成立.

(Ⅲ)由已知h(x)=f′(x)=x+,

∴［h(x)］ⁿ-h(xⁿ)=(x+)ⁿ-xⁿ-

=x^n-1+x^n-2+…+x²+x

=x^n-2+x^n-4+…++

=［(x^n-2+)+(x^n-4+)+…+(+x^n-4)+(+x^n-2)］

    又∵x＞0,

∴上式≥(2+2+…+2+2)

=++…+=2ⁿ-2.

∴结论成立.