Question

已知函数f（x）=lnx++x（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若以函数y=f（x）-x（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

（1）f（x）=lnx++x（x＞0），f′（x）=-+1=
方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，
当a≤-时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当-＜a≤0时，△＞0，方程x²+x-a=0有两个根均小于等于零；
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，，△＞0，方程x²+x-a=0有一个正根，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增  
 综上当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增
（2）y′=（0＜x≤3），k=y′=≤（0＜x₀≤3）恒成立?a≥，
当x₀=1时，取得最大值
∴a≥，
∴a_min=．
分析：（1）f′（x）=，方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，对△分△≤0与△＞0两类讨论即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）k=y′=≤（0＜x₀≤3）恒成立?a≥，由二次函数的性质可得当x₀=1时，取得最大值，问题得到解决．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．