Question

12．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角H-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
（2）以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H-BD-C的大小．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），H（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，0，0）．
设平面BDH的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y+3z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{3}$，1）
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为$\overrightarrow{ED}$=（0，0，-3），
则cos＜$\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{1}{2}$，
由图可知二面角H-BD-C为锐角，
∴二面角H-BD-C的大小为60°

点评 本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．