Question

已知：f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期；
（II）将2x+

π

3

看成整体在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上单调递增，然后求出x的取值范围，从而求出函数的单调增区间．
（III）根据x∈[-

π

4

，

π

4

]，求出2x+

π

3

的范围，从而求出sin（2x+

π

3

）的取值范围，从而求出f（x）的值域．

解答：解：f（x）=sin2x+

3

（2cos²x-1）+1
=sin2x+

3

cos2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．