Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且=λ(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的线，设其交点为M.

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f(λ)的表达式并求S的最小值.

Answer 1

解:（Ⅰ）F(0,1),λ＞0,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由=λ得

∴=λ²,并把y₁=  y₂=代入得：

y₁=λ²y₂.由y₁=λ,y₂=,且有x₁x₂=-λ=-4λy₂=-4.

    由y=x²得,y′=x过A、B两点的切线方程分别为：

y=x₁(x-x₁)+y₁,y=x₂(x-x₂)+y₂.

    即：y=x₁x-;y=x₂x-.

    解出交点M的坐标为（,）=(,-1).

∴·=(,-2)·(x₂-x₁,y₂-y₁)=(-)-2(-)=0.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|,

|FM|=+,

|AB|=|AF|+|FB|=y₁+y₂+2=λ++2=(+)²,

∴S=(+)³.∵+≥2,

∴S≥4,当且仅当λ=1时，S最小值4.