Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(1)证法一：取的中点，连． 　　∵为的中点，∴且． 　　∵平面，平面， 　　∴，∴． 　　又，∴． 　　∴四边形为平行四边形，则． 　　∵平面，平面， 　　∴平面． 　　证法二：取的中点，连． 　　∵为的中点，∴． 　　∵平面，平面，∴． 　　又， 　　∴四边形为平行四边形，则． 　　∵平面，平面， 　　∴平面，平面． 　　又，∴平面平面． 　　∵平面， 　　∴平面．(5分) 　　(2)证：∵为等边三角形，为的中点，∴． 　　∵平面，平面，∴． 　　又，故平面． 　　∵，∴平面． 　　∵平面， 　　∴平面平面．(5分) 　　解：在平面内，过作于，连． 　　∵平面平面，∴平面． 　　∴为和平面所成的角． 　　设，则， 　　， 　　Rt△中，． 　　∴直线和平面所成角的正弦值为．(4分) 　　方法二：设，建立如图所示的坐标系，则 　　． 　　∵为的中点，∴．