Question

（2013•浙江模拟）如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据E，F分别是PC，PD的中点，结合三角形中位线定理及平行公理，可得AB∥EF，进而由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小，作MH⊥AF，垂足为H，连接EH，可证得∠MEH是ME与平面ABEF所成角，解Rt△EHM可得答案．

解答：证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点
∴EF∥CD
又∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB；
∴EF∥平面PAB；
解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC
故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小
作MH⊥AF，垂足为H，连接EH
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
∴EF⊥平面PAD
∵MH?平面PAD
∴EF⊥MH
∴MH⊥平面ABEF
∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角
在Rt△EHM中，EM=

1

2

AC=

5

，MH=

2

2

∴sin∠MEH=

MH

EM

=

10

10

∴AC与平面ABEF所成角的正弦为

10

10

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，其中（1）要熟练掌握线面平行的判定定理；（2）的关键是找出线面夹角的平面角．