Question

已知向量

a

=（1，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），

π

4

≤θ≤

π

2

，则

a

•

b

的取值范围是

[1，

3+ 2

2

]

．

Answer 1

分析：用向量的坐标表示数量积，得到关于θ的三角函数，求导函数分析函数的单调性，运用函数单调性求值域．

解答：解：由

a

=（1，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），
∴

a

•

b

=1+cosθ+sinθcosθ，
令f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ，
f^′（θ）=-sinθ+cos²θ-sin²θ=-2sin²θ-sinθ+1，
∵

π

4

≤θ≤

π

2

，∴sinθ∈[

2

2

，1]，f^′（θ）=-2sin²θ-sinθ+1＜0，
∴f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ在[

π

4

，

π

2

]上为减函数，
∴f(θ)min=f(

π

2

)=1，f(θ)max=f(

π

4

)=

3+ 2

2

，
所以

a

•

b

的取值范围是[1，

3+ 2

2

]．
故答案为[1，

3+ 2

2

]

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了利用函数导函数判断函数的单调性，导函数在区间上为正，原函数在相应区间上是增函数，导函数是负，原函数是减函数，此题是中档题．