Question

若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.

Answer 1

活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)的图像向上(B＞0)或向下(B＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.

解:由已知条件,知y_max=3,y_min=-5,

则A=(y_max-y_min)=4,B=(y_max+y_min)=-1,=-=.

∴T=π,得ω=2.

故有y=4sin(2x+φ)-1.

由于点(,3)在函数的图像上,

故有3=4sin(2×+φ)-1,

即sin(+φ)=1.

一般要求|φ|＜,故取+φ=.

∴φ=.

故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.

点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图像可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.