Question

已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且，则的取值范围是________．

Answer 1

分析：由条件可得 ≥，求出的最小值 和最大值，从而求得的最小值．当和 的模最大且夹角最小时， 最大，故当M、N和点C重合时，最大等于2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得的最大小于2，从而得到 的范围．
解答：由题意可得==-2≤1，
∴≥．
设CM=x，CN=y，则 MN²=x²+y²≤1．
=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示单位圆面（x²+y²≤1 ）上的点与点（1，1）连线的距离的平方加上2，
故其最小值为+2=5-2，最大值为+2=5+2．
故 的最小值等于==2-．
又当和 的模最大且夹角最小时， 最大，
故当M、N和点C重合时，最大等于•=2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得的最大小于2．
故 的范围为[2-，2）．
故答案为[2-，2）．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，本题属于中档题．