Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，，C={x|x²+2x-8=0}．若A∩B≠∅与A∩C=∅同时成立，求实数a的值．

Answer 1

解：对于集合B，log₂（x²-5x+8）=1?x²-5x+8=2，
解x²-5x+8=2可得x=2或3，
则B={2，3}，
对于集合C，解x²+2x-8=0可得x=-4或2，
则C={-4，2}，
又由A∩C=∅，则2∉A，而2∈B，3∈B且A∩B≠∅，
必有3∈A，
必有3²-3a+a²-19=0，解可得a=5或-2
当a=5时，A=B={2，3}，与2∉A矛盾，a≠5
当a=-2时，A={3，-5}，符合题意，
故a=-2．
分析：根据题意，由于集合A不确定，所以首先考虑B、C，由对数的运算性质可得B={2，3}，解x²+2x-8=0可得集合C，由题意A∩B≠∅与A∩C=∅同时成立，分析可得3∈A，将x=3代入x²-ax+a²-19=0可得3²-3a+a²-19=0，解可得a的值，验证a的值是否符合题意，即可得答案．
点评：本题考查集合与元素关系的应用，关键是根据集合A与B、C的关系，结合集合B、C的元素，分析确定集合A．