Question

（2012•广州一模）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos²ωx-b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求b，ω的值；
（2）若f(a)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4a)的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据最小正周期求出ω，再根据最大值求出b的值．
（2）由f(a)=

2

3

，求得sin(2α+

π

3

)=

1

3

，根据 sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-2(2α+

π

3

)]=-cos2(2α+

π

3

)，利用二倍角公式求得结果．

解答：解：（1）f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b=sin2ωx+bcos2ωx=

1+b2

sin(2ωx+?)，…（2分），
由题意可得，函数f（x）的周期 T=2×

π

2

=π，…（3分），
再由函数的解析式可得周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，所以ω=1．…（4分）
再由函数的最大值为

1+b2

=2，可得 b=±

3

，…（5分），因为b＞0，所以b=

3

． …（6分）
（2）由 f(x)=2sin(2x+

π

3

) 以及f(a)=

2

3

，求得sin(2a+

π

3

)=

1

3

．…（8分），
∴sin(

5π

6

-4a)=sin[

3π

2

-2(2a+

π

3

)]=-cos2(2a+

π

3

) …（10分）
=2sin2(2a+

π

3

)-1  …（11分），
=-

7

9

． …（12分）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．