Question

已知函数f（x）=x³-mx²+3x（m∈R）．
（1）若f（x）在R上是增函数，求m的取值范围；（2）若m=3，且f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，求a，b的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³-mx²+3x
∴f'（x）=3x²-2mx+3
若f（x）在R上是增函数，
则f'（x）≥0恒成立，
故△=4m²-36≤0
故m的取值范围为-3≤m≤3）
（2）由（1）知m=3时，f（x）=x³-3x²+3x在R上是增函数
f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，可得a，b为方程f（x）=x的两不等根，
若f（x）=x，
则x³-3x²+3x=x
即x³-3x²+2x=0
即x（x-1）（x-2）=0
解得x=0，1，2
故
分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而根据f（x）在R上是增函数，得到f'（x）≥0恒成立，进而得到导函数对应方程的△≤0，解不等式求出m的取值范围
（2）由（1）中结论可得m=3时，f（x）在区间[a，b]上为增函数，进而根据f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[a，b]，可得a，b为方程f（x）=x的两不等根，解方程f（x）=x可得答案．
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答本题的关键．