Question

在各棱长均为1的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

（1）求BC₁与侧面ABB₁A₁所成角的正切值；

（2）如果M为CC₁的中点，求截面AB₁M与底面所成角的大小.

 

Answer 1

解析:（1）如图，取A₁B₁的中点D，连结BD、DC₁，

∵A₁C₁=B₁C₁，

∴C₁D⊥A₁B₁.

由ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱，

∴B₁B⊥C₁D.∴C₁D⊥侧面AA₁B₁B.

∴∠DBC₁为BC₁和侧面ABB₁A₁所成的角，DC₁=.

∴tan∠DBC₁=DC₁∶DB=.

（2）如图，∵△ABC是△AB₁M在底面上的射影，

∴cosα=S_△ABC∶.取AB₁的中点N，连结DN，

∵DNA₁A,而A₁ACC₁，

∴DNCC₁.

又∵M为CC₁的中点，

∴DNC₁M.∴C₁DMN.

又∵C₁D⊥面AB₁，

∴MN⊥平面AB₁且MN=.

∴AB₁·MN=，而S_△ABC=.

∴cosα=.∴α=45°.