Question

集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，试证明X＝Y．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设x0∈X，则x0＝2n0＋1，n0∈Z． 　　①若n0是偶数，可设n0＝2m，m∈Z则x0＝2·2m＋1＝4m＋1，∴x0∈Y． 　　②若n0是奇数，可设n0＝2m－1，m∈Z，则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1， 　　∴x0∈Y． 　　∴不论n0是偶数还是奇数，都有x0∈Y，∴XY． 　　(2)又设y0∈Y，则y0＝4k0＋1，或y0＝4k0－1，k∈Z． 　　∵y0＝4k0＋1＝2(2k0)＋1，y0＝4k0－1＝2(2k0－1)＋1， 　　2k0和2k0－1都属于Z，∴y0∈X，∴YX． 　　由(1)、(2)可知，X＝Y． 　　思想方法小结：(1)判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合的关系． 　　(2)证明两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 　　此外，由本例的解答过程不难发现：两个集合A、B相等，之所以不以“A、B所含元素完全相同”来定义，而是利用子集来定义，显然比较科学，具有可操作性，用起来比较方便．

提示：

要证明X＝Y，按集合相等的定义，应证明XY，且YX．