Question

12．已知向量$\vec a=（{-k\;，\;4}）$，$\vec b=（{k\;，\;k+3}）$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（请写成区间形式）（-2，0）∪（0，6）．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为锐角，从而有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，并且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，这样即可得出$\left\{\begin{array}{l}{-{k}^{2}+4k+12＞0}\\{-k（k+3）-4k≠0}\end{array}\right.$，解该不等式组，即可得出k的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为锐角；
∴$0＜cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＜1$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不同向；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-{k}^{2}+4k+12$；
∴-k²+4k+12＞0且-k（k+3）-4k≠0；
解得-2＜k＜0，或0＜k＜6；
∴k的取值范围为（-2，0）∪（0，6）．
故答案为：（-2，0）∪（0，6）．

点评 考查向量夹角的概念，向量夹角的余弦公式，数量积的坐标运算，以及向量平行时的坐标关系．