Question

已知定义在R上的单调函数f(x)，存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f(x₀x₁+x₀x₂)=f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)恒成立．

(Ⅰ)求x₀的值；

(Ⅱ)若f(x₀)=1，且对任意正整数n，有a_n=,b_n=f()+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1,比较S_n与T_n的大小关系，并给出证明．

Answer 1

解：(Ⅰ)令x₁=x₂=0得f(0)=f(x₀)+2f(0)，

 ∴f(x₀)=-f(0)．        ①

令x₁=1，x₂=0，得f(x₀)=f(x₀)+f(1)+f(0)，

∴f(1)=-f(0)．          ②

由①②得f(x₀)=f(1)．

∵f(x)为单调函数，∴x₀=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)+f(1)=f(x₁)+f(x₂)+1，

∵f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2，f(1)=1，∴f(n)=2n-1．(n∈Z⁺)

∴a_n=.

又∵f（1）=f（+）=f（）+f（）+f（1）

∴f（）=0，b₁=f（）+1.

又∵

∴2b_n+1=2f()+2=f()+1=b_n^.

∴b_n=()^n-1.

∴S_n=

T_n=

=

∴

∵4ⁿ=(3+1)ⁿ=3ⁿ+3^n-1+…+3+≥3n+1＞2n+1,

∴

∴