Question

已知椭圆C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点为B(1，0)，右准线与x轴的交点为A(5，0)，过点A作直线l交椭圆C于不同两点P、Q.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求直线l斜率的取值范围；

(Ⅲ)是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

答案：解：圆锥曲线的几何量之间的关系用待定系数法确定方程，利用判别式构建不等式求解参数的方法，利用直线和圆锥曲线的研究方法探究存在性问题.(Ⅰ)

即所求椭圆方程为=1.

(Ⅱ)点A(5，0)在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-5).

由方程组

得(5k²+4)x²-50k²x+125k²-20=0

依题意△=20(16-80k²)＞0，得.

(Ⅲ)方法一：利用第二定义探究，设点P、Q到准线的距离分别为d_P+d_Q.

若存在直线l，使得|BP|=|BQ|

∵=e，∴d_P=d_Q，

又∵P、Q是椭圆上不同的两点

∴PQ平行于准线.这与PQ过点A矛盾.

∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.

方法二：利用方程探究，设交点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，PQ的中点为R(x₀，y₀)，则x₁+x₂=，

x₀=

y₀=k(x₀-5)=k(，

又|BP|=|BQ|BR⊥lk·k_BR=-1

k·k_BR==-1

20k²=20k²-4，但0=-4不可能成立，

所以不存在直线l使得|BP|=|BQ|.