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    如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF为异面直线A1D与AC的公垂线,求证:EF∥BD1.

    证明:连结A1C1,由于AC∥A1C1,EF⊥AC,

    ∴EF⊥A1C1.

    又EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1,

    ∴EF⊥平面A1C1D.                                 ①

    ∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,

    ∴BB1⊥A1C1.

    ∵四边形A1B1C1D1为正方形,

    ∴A1C1⊥B1D1,B1D1∩BB1=B1.

    ∴A1C1⊥平面BB1D1D.

    而BD1平面BB1D1D,

    ∴A1C1⊥BD1.

    同理,DC1⊥BD1,DC1∩A1C1=C1.

    ∴BD1⊥平面A1C1D.                                ②

    由①②可知EF∥BD1.

    小结:证明EF∥BD1,构造与EF、BD1都垂直的平面是关键.由于EF是AC和A1D的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用.

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    如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
    （1）求证：AC⊥平面D1DB；
    （2）BD1∥平面ABC．

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