Question

若a、b、c成等比数列，试证：a²+b²,ab+bc,b²+c²也成等比数列.

Answer 1

证法一：∵a、b、c成等比数列，故abc≠0,且b²=ac,

于是a²+b²=a²+ac=a(a+c),

b²+c²=ac+c²=c(a+c).

∴(a²+b²)(b²+c²)=ac(a+c)²=

b²(a+c)²=(ab+bc)²,

故a²+b²,ab+bc,b²+c²成等比数列.

证法二：∵a、b、c成等比数列，

∴b²=acb²-ac=0(b²-ac)²=0b⁴+a²c²-2ab²c=02ab²c=b⁴+a²c²a²b²+b²c²+2ab²c=a²b²+b²c²+b⁴+a²c²，

即(ab+bc)²=b²(a²+b²)+c²(a²+b²)=(a²+b²)(b²+c²)，

∴a²+b²,ab+bc,b²+c²成等比数列.