Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.

（Ⅰ）求出；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式.

Answer 1

18.解：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,

    f(5)=25+4×4=41.……………………………………………………………………  4分

（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1.

 f(3)-f(2)=8=4×2,

 f(4)-f(3)=12=4×3,

 f(5)-f(4)=16=4×4,

 由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.…………………………………………………… 8分

 f(2)-f(1)=4×1,

 f(3)-f(2)=4×2,

 f(4)-f(3)=4×3,

 …………

 f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

 f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ……………………………………………………………… 10分

f(n)-f(1)=4[1+2+…+（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,

f(n)=2.…………………………………………………………………… 12分