Question

（选做题）已知x²+3y²+4z²=2，求证：|x+3y+4z|≤4．

Answer 1

【答案】分析：分析题目已知x²+3y²+4z²=2，求证：|x+3y+4z|≤4．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（x+3y+4z）²的最大值，开平方根即可得到答案．
解答：证明：因为已知x²+3y²+4z²=2根据柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
即（x+3y+4z）²≤（x²+3y²+4z²）（1²+²+2²）≤2×8=16
故：|x+3y+4z|≤4．
点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．