Question

如图，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD＝BD＝1，．沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．

(Ⅰ)证明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；

(Ⅱ)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A―BD―C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：因为，，所以，． 　　因为折叠过程中，，所以，又， 　　故平面． 　　又平面， 　　所以平面平面． 　　(Ⅱ)解法一：如图，延长到，使，连结，． 　　因为，，，， 　　所以为正方形，． 　　由于，都与平面垂直， 　　所以，可知． 　　因此只有时，△为等腰三角形． 　　在△中，，又， 　　所以△为等边三角形，． 　　由(Ⅰ)可知，， 　　所以为二面角的平面角， 　　即二面角的大小为． 　　解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，． 　　由(Ⅰ)可设点的坐标为，其中，则有．　　① 　　因为△为等腰三角形，所以或． 　　若，则有． 　　由此得，，不合题意． 　　若，则有．　　② 　　联立①和②得，．故点的坐标为． 　　由于，，所以夹角的大小等于二面角的大小． 　　又 　　所以． 　　即二面角的大小为．