Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-x2-3x+1．
（1）求f′（x）和f′（2）；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）依据求导法则得到f′（x）和f′（2）；
（2）令f′（x）=0，解出x，在函数的定义域内列表判断，即可求出函数的单调区间；
（3）由（2）根据极值的定义进行判定极值即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）…1
f′（2）=-3         …2
（2）令f'（x）=0，即（x+1）（x-3）=0     解得x=-1或x=3…4
列表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大 8 3	减	极小-8	增

所以，函数f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上是增函数；
在（-1，3）上是减函数   …10
（3）由（2）可得
当x=-1时，函数f（x）取得极大值，且极大值为

8

3

；当x=3时，函数f（x）取得极小值，且极小值为8   …12

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．