Question

16．已知锐角三角形三边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（　　）

• A． 8＜a＜10
• B． 2$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{10}$
• C． $2\sqrt{2}＜a＜10$
• D． $\sqrt{10}＜a＜8$

Answer 1

分析 由已知中△ABC三边长分别为1、3、a，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时，由两边长1和3求出a的范围，但3与a边均有可能为最大边，故要分类讨论．

解答 解：∵△ABC三边长分别为1、3、a，
又∵△ABC为锐角三角形，
当3为最大边时3≥a，设3所对的角为α，
则根据余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1-{3}^{2}}{2a}$＞0，
∵a＞0，
∴a²-8＞0，
解得3≥a＞2$\sqrt{2}$；
当a为最大边时a＞3，设a所对的角为β，
则根据余弦定理得：cosβ=$\frac{1+9-{a}^{2}}{6}$＞0，
∴10-a²＞0，
解得：3＜a＜$\sqrt{10}$，
综上，实数a的取值范围为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的形状判断，以及余弦定理的应用，利用了分类讨论的思想．解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围，属于中档题．