Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6．
（I）设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（II）当n取何值时a_n取得最小值．

Answer 1

分析：（I）由b_n=a_n+1-a_n，a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6，可得b₁=a₂-a₁=-14，b_n+1-b_n=2n-6．再利用“累加求和”b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁即可得出．
（II）由b_n=（n-8）（n+1）得　a_n+1-a_n=（n-8）（n+1），对n与8的关系分类讨论即可．

解答：解：（I）∵b_n=a_n+1-a_n，a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6，
∴b₁=a₂-a₁=-14，
又∵a_n+2+a_n=2n-6，∴b_n+1-b_n=2n-6．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2[1+2+…+（n-2）+（n-1）]-6（n-1）-14
=2×

(n-1)(n-1+1)

2

-6(n-1)-14
=n²-7n-8．
∴数列{b_n}的通项公式为bn=n2-7n-8．
（II）n=8时，有最小值；
由b_n=（n-8）（n+1）得　a_n+1-a_n=（n-8）（n+1），
∴当n＜8时，a_n+1＜a_n．
当n=8时，a₉=a₈．
当n＞8时，a_n+1＞a_n．
∴当n=8或n=9时，a_n的值最小．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、“累加求和”、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．