Question

某大学内建立起了A、B两个活动中心，2003学年中，共有1 000人报告参加这两项活动，年底的一份调查资料表明，凡是这次参加A活动的学生，下次会有20%改参加B活动；而选择B活动的学生，下次有30%改选A活动，若A₁=200，用A_n、B_n表示在第n次分别选择A、B活动的人数.问：第几次时，选择A活动和选择B活动的人数相等？

Answer 1

解：第n次选择A活动的人数A_n中80%的人在下次还选A活动；而B_n中有30%的人数选A活动，所以在第n+1次时，选择A活动的人数：A_n+1=80%×A_n+30%×B_n.

又由于A_n+B_n=1 000，

∴A_n+1=0.8A_n+0.3(1 000-A_n)=A_n+300.

记C_n=A_n-600,

将其代入上式有C_n+1=C_n,

∴C_n=C₁()^n-1,

当A₁=200时，C₁=-400.

∴A_n=C_n+600

=-400×()^n-1+600.

当选A活动与B活动的人数相等时，

A_n=B_n=500，

即-400×()^n-1+600=500，

∴n=3，

即第3次选择A、B活动的人数相同.