Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

2

，2an+1-an=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明：

a1+a2+…+an

n

＜1．

Answer 1

分析：（1）先证明数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，再求{a_n}的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式求和，再证明结论即可．

解答：（1）解：由题意，a1=

1

2

，2an+1-an=1=2-1，2an+1-2=an-1，2(an+1-1)=an-1，（2分）
∴

an+1-1

an-1

=

1

2

（4分）
∵a1-1=

1

2

-1=-

1

2

（5分）
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，（6分）
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，
∴an=1-(

1

2

)n．                      （7分）
（2）证明：∵a1+a2+…+an=n-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]（9分）
=n-

1 2 - 1 2 ×( 1 2 )n

1- 1 2

（10分）
=n-1+(

1

2

)n（11分）
∴

a1+a2+…+an

n

=1-

1-( 1 2 )n

n

，（12分）
∵n是正整数，∴0＜(

1

2

)n＜1，0＜1-(

1

2

)n＜1，

1-( 1 2 )n

n

＞0，（13分）
∴

a1+a2+…+an

n

＜1．                                     （14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．