Question

设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），

1

9

≤x≤9．
（Ⅰ）若m=log₃x，求m取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求m得取值范围；
（Ⅱ）把f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）利用对数式的运算性质化为含有m的二次函数，然后利用配方法求函数f（x）的最值，并由此求出最值时对应的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

1

9

≤x≤9，m=log₃x为增函数，
∴-2≤log₃x≤2，即m取值范围是[-2，2]；
（Ⅱ）由m=log₃x得：f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）
=（2+log₃x）•（1+log₃x）
=(2+m)•(1+m)=(m+

3

2

)2-

1

4

，
又-2≤m≤2，∴当m=log3x=-

3

2

，即x=

3

9

时f（x）取得最小值-

1

4

，
当m=log₃x=2，即x=9时f（x）取得最大值12．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了换元法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．