Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左、右焦点为F₁、F₂，上顶点为A，直线AF₁交椭圆于B．如图所示沿x轴折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．点O为坐标原点．求三棱锥A-F₁F₂B的体积；

Answer 1

分析：利用椭圆的标准方程及其性质、面面垂直的性质及三棱锥的体积计算公式即可得出；

解答：（本小题满分13分）
解：依题意得：

x2

2

+y2=1的顶点A（0，1），F₁（-1，0），F₂（1，0）
直线AF₁：y=x+1，
联立方程组

y=x+1 x2+2y2=2

⇒x2+2(x+1)2=2⇒3x2+4x=0，
x1=0，x2=-

4

3

∴B(-

4

3

，-

1

3

)∴S△F1BF2=

1

2

×|F1F2|×|yB|=

1

2

×2×

1

3

=

1

3

…（7分）
又∵面AF₁F₂⊥面BF₁F₂，而AO⊥F₁F₂，面AF₁F₂∩面BF₁F₂=F₁F₂，AO?面AF₁F₂
∴AO⊥面BF₁F₂，即AO为锥A-F₁F₂B的高，
故VA-F1FBB=

1

3

S△BF1F2×h=

1

3

×

1

3

×1=

1

9

…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程及其性质、线面与面面垂直的判定和性质定理及三棱锥的体积计算公式、考查空间想象能力以及计算能力．