Question

已知函数f（x）=2x²+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为

(-∞，-

1

2

 -ln2)

．

Answer 1

分析：利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=

1

2

，再由题意可得f（

1

2

）
＜g（

1

2

），由此求得实数m的取值范围．

解答：解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，
故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点．
当x＞0时，令 h（x）=f（x）-g（x）=2x²+m-lnx，则 h′（x）=4x-

1

x

．
令h′（x）=0可得x=

1

2

，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=

1

2

．
当x=

1

2

时，f（x）=

1

2

+m，g（x）=ln

1

2

=-ln2，
函数f（x）=2x²+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有

1

2

+m＜-ln2，
由此可得 m＜-

1

2

-ln2，故实数m的取值范围为 (-∞，-

1

2

 -ln2)，
故答案为 (-∞，-

1

2

 -ln2)．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上
相切时切点的横坐标为x=

1

2

，是解题的关键，属于中档题．