Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+18（a∈R）
（1）判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数不等式去判断函数的单调性．
（2）利用（1）的单调性以及单调区间求出函数在[1，2]上的最大值．

解答：解：（1）函数的导数为f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）．
①若a=1，则f'（x）=6（x-1）²≥0恒成立，所以此时函数f（x）在R上单调递增．
②若a＞1，则由f'（x）＞0得x＞a或x＜1，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得1＜x＜a，此时函数f（x）单调递减．
③若a＜1，则由f'（x）＞0得x＞1或x＜a，此时函数f（x）单调递增．由f'（x）＜0得a＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
综上，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．
若a＞1，f（x）在（a，+∞）和（-∞，1）上单调递增，在（1，a）上函数f（x）单调递减．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）和（-∞，a）上单调递增，在（a，1）上函数f（x）单调递减．
（2）由（1）知，若a=1，函数f（x）在R上单调递增．所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
若a＞1，因为f（1）=3a+17，由f（1）=3a+17=22得，a=

5

3

．
当a=

5

3

时，所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
当1＜a＜

5

3

时，f（1）＜f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=22．
当a≥

5

3

时，f（1）＞f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）=3a+17．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，当参数不确定时，需要对参数进行分类讨论．