Question

已知函数f（x）=+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）= （e是自然对数的底数），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数的定义域，然后求出f′（x）=0得到函数的稳定点，讨论a的大小得到导函数的大小即可得到函数的单调区间；
（2）存在a，令h（x））=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）e^x（x∈R），求出导函数，然后再令m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），讨论g（x）在[a，-a]上为减函数，当且仅当f（x）在[1，-a]上为减函数，h（x）在[a，1]上为减函数，且h（1）≥e•f（1）得到三个关于a范围的式子，求出解集即可得到a的范围．
解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=-+1+=，
①若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减．
②若a＜-1，仿①可得f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减；
（2）存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数．事实上，设h（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）e^x（x∈R），则h′（x）=[-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²]e^x
再设m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），
则g（x）在[a，-a]上单调递减时，h（x）必在[a，0]上单调递减所以h′（a）≤0，由于e^x＞0，
因此g（x）在[a，-a]上为减函数，当且仅当f（x）在[1，-a]上为减函数，h（x）在[a，1]上为减函数，且h（1）≥e•f（1）．由（1）知，当a≤-2①时，f（x）在[1，-a]上为减函数．又h（1）≥e•f（1）?4a²+13a+3≤0?-3≤a≤-②
不难知道，?x∈[a，1]，h′（x）≤0??x∈[a，1]，m（x）≤0，因m′（x）=-6x²+6（a-2）x+12a=-6（x+2）（x-a），令m′（x）=0，则x=a，或x=-2．而a≤-2，于是
（p）当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′（x）＞0；若-2＜x＜1，则m′（x）＜0．因而m（x）在（a，-2）上单调递增，在
（-2，1）上单调递减．
（q）当a=-2时，m′（x）≤0，m（x）在（-2，1）上单调递减．
综合（p）（q）知，当a≤-2时，m（x）在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a²-12a-8．所以?x∈[a，1]，m（x）≤0
?m（-2）≤0?-4a²-12a-8≤0?a≤-2③，
又对x∈[a，1]，m（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h′（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得．因此，当a≤-2时，h（x）在[a，1]上为减函数．
从而有①，②，③知，-3≤a≤-2
综上所述，存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，运用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力．