Question

已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c．
（1）若a，b，c是从中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率；
（2）若a，b，c是从（0，1）中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率．

Answer 1

解：（1）若a，b，c能构成三角形，则．
①若时，．共1种；
②若时．．共2种；
同理时，有3+1=4种；
时，有4+2=6种；
时，有5+3+1=9种；
时，有6+4+2=12种．
于是共有1+2+4+6+9+12=34种．
下面求从中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数：
①若，，则，有7种；
，有6种；
，，有5种；
…； ，有1种．
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种．
同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；
时，有5+4+3+2+1=15种；
时，有4+3+2+1=10种；
时，有3+2+1=6种；
时，有2+1=3种；
时，有1种．
这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种．
∴a，b，c能构成三角形的概率为．
（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是．
在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域（如右图阴影部分），
由几何概型的计算方法可知，
只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可．
又S_阴影=，
于是所要求的概率为．