Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=0．

Answer 1

（1）证明∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解∵x∈[2，4]，∴-x∈[-4，-2]，
∴4-x∈[0，2]，
∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）²=-x²+6x-8，
又f（4-x）=f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x²+6x-8，
即f（x）=x²-6x+8，x∈[2，4]．
（3）解∵f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1．
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 008）+f（2 009）+f（2 010）+f（2 011）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 011）=0
分析：（1）由f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函数的周期性；
（2）由于x∈[2，4]，则4-x∈[0，2]，再根据周期及函数在区间[0，2]上的解析式，可求x∈[2，4]时函数解析式；
（3）根据已知可分别求解f（0），f（1），f（2），f（3）进而根据周期可求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
点评：本题主要考查了函数的周期的求解及应用及根据函数性质求解函数的解析式及函数值的求解，解题的关键是熟练应用函数的基本性质