Question

函数y=

2-lg(x-1)

．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2-lg（x-1）≥0，求得x的范围，即可求得函数的定义域．
（Ⅱ）设u=2-lg（x-1），则 1＜x≤101，y=

u

，根据函数u在区间（1，101]上是减函数，可得函数y=

2-lg(x-1)

在区间（1，101]上是减函数，从而得到数y的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）由2-lg（x-1）≥0得，lg（x-1）≤2，
即lg（x-1）≤lg100，∴0＜x-1≤100，解得1＜x≤101，
故函数的定义域为{x|1＜x≤101}．
（Ⅱ）设u=2-lg（x-1），则 1＜x≤101，y=

u

．
当x∈（1，101]时，u≥0，y是u的增函数．
由于函数u在区间（1，101]上是减函数，故函数y=

2-lg(x-1)

在区间（1，101]上是减函数，
故函数y的单调递减区间为（1，101]．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，求复合函数的单调区间，体现了等价转化和换元的数学思想，
属于基础题．