Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，

AB

=（-1，2，1），

AD

=（0，-2，3），

AP

═（8，3，2），
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求PC的长．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

AB

=（-1，2，1），

AD

=（0，-2，3），

AP

═（8，3，2），根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，我们可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）由已知中向量

AB

=（-1，2，1），

AD

=（0，-2，3），

AP

═（8，3，2），根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．

解答：证明：（1）∵

AB

=（-1，2，1），

AD

=（0，-2，3），

AP

═（8，3，2），
∴

AP

•

AB

=0，

AP

•

AD

=0，
∴

AP

⊥

AB

，

AP

⊥

AD

，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD=A
∴AP⊥平面ABCD；
（2）∵

AB

=（-1，2，1），

AD

=（0，-2，3），

AP

═（8，3，2），
∴

AC

=

AB

+

AD

=(-1，0，4)，

PC

=

AP

-

AC

=(9，3，-2)，
∴|PC|=

94

．

点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线垂直的关系，空间点到点距离的运算，其中（1）中证得AP⊥AB且AP⊥AD是关键，（2）中计算出向量PC的坐标是关键．